Programmation linéaire Programmation linéaire 1. Algorithme de Ford-Fulkerson Problème de couplage Problème. Aussi, on fera l hypothèse que le rang de la matrice. Recherche Opérationnelle et Aide à la Décision. Les résultats sont affichés ci-dessous: Un programme linéaire est un programme consistant à trouver un extremum Plus en détail.

Nom: lindo programmation lineaire
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Système d’exploitation: Windows, Mac, Android, iOS
Licence: Usage Personnel Seulement
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Préférences et fonctions d utilité. Modèle dual Modèles de recherche opérationnelle RO Programmation linéaire dualité et analyse de sensibilité Variables de décision: On le modélise de la façon suivante: On va maintenant laisser LINDO choisir les pivots, et on peut observer qu il ne fait pas les mêmes choix que nous. Introduction et exemples II.

Problème des 5 aliments On cherche à résoudre le problème des 5 aliments, où on veut nourrir un prisonnier en minimisant le coût. On dispose de 5 aliments et on connaît leur contenu en calories et protéines. Il nous est imposé de donner calories et protéines par jour au prisonnier. Comme on l a vu en cours, il n est pas nécessaire d introduire des variables d écart quand les contraintes sont des égalités.

Dans l analyse de sensitivité, on peut voir les augmentations et diminutions possibles sans changer de base. C est clair que si l on impose à X2, X3 ou X4 d être égal à 0.

Il est donc facile de calculer l augmentation de Z pour chacune de ces solutions: On cherche maintenant à trouver une solution réalisable quand le problème consiste à maximiser la quantité de viande, c est-à-dire X2.

On désire écrire le programme linéaire dual du problème des 5 aliments.

On dispose du problème primal P de la forme: On retrouve de même en progrsmmation prices du problème dual les valeurs des variables du problème primal limdo celles-ci ont conservent leur signe. Les prix duaux sont non nuls pour les lignes 2 et 6 de la résolution du problème dual.

Ces lignes correspondent aux variables X1 et X5, c’est à dire au pain et au lait. On en déduit donc, grâce au théorème des écarts complémentaires que l’alimentation de moindre coût ne comporte que du pain et du lait.

Exemple de problème duaux 1 Problème de l’entreprise agricole: Le problème est modélisé par le système suivant: On peut remarquer que le problème de maximisation est traité comme un problème de minimisation. On trouve les mêmes valeurs optimales pour les fonctions objectives des 2 problèmes c est-àdire ce qui est la conséquence logique de la dualité des 2 deux problèmes, ce problème est en effet un problème dual.

On modifie désormais la troisième contrainte 4 0. On remplace la troisième contrainte par 4 0. Les résultats sont affichés ci-dessous: Problème de pollution Le but de cet exercice est de voir l influence d une variation des seuils sur le bénéfice maximum à l aide des prix duaux et des coûts réduits.

Logiciel pour la résolution des programmes linéaires : « LINDO »

Le problème est celui d une entreprise qui veut maximiser son bénéfice où la production est contrainte par des limites de pollution. On choisit la variable qui a le plus grand coefficient dans la fonction objectif. On va maintenant laisser LINDO choisir les pivots, et on peut observer qu il ne fait pas les mêmes choix que nous. On ne sait pas exactement comment le logiciel fait pour choisir les pivots, mais son choix est différent du notre critère de Dantzig parce qu il essaie de résoudre un problème dual au lieu de primal.

De l analyse de sensitivité on peut voir que pour la première contrainte, on peut l augmenter de 16 sans changer de base. Utilisation d un fichier de commande.

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Dans le problème de pollution de l usine pétrochimique, on veut savoir comment varie la fonction objectif si les valeurs prises par le coefficient 1 représentant la quantité de substance S4 rejetée par P4 est en augmentation.

Pour observer ces variations on écrit un fichier de commande de la forme: Variations de la fonction objective ,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 valeurs optimales coefficient de P4 dans la 4ème contrainte Interprétation des résultats: On le modélise de la façon suivante: Puisque l on gagne le plus en remplissant A d abord au lieu de B ou C et que ensuite on gagne plus en remplissant B avant C, on va effectivement avoir une modélisation du problème prograjmation l on lineqire ici dans les contraintes A, B, C jouent le meme role: On constate pour ces valeurs que l on a toujours l une des trois situations suivantes: La lineaore du problème précédent n est plus valable, car il remplira d abord C, ensuite B et finalement A, alors que le modèle impose un remplissage de A d abord, ensuite B et finalement C.

On sépare alors le problème en trois sous problèmes où l on impose des contraintes sur deux des variables A, B et C. Avec cette modélisation on retrouve bien un modèle du problème physique que l on considère. Problème d affectation de machines. On modélise le problème en PL sachant qu l on aune seule machine par tâche et une seule tâche par machine.

INT 16 après pogrammation valent 0 ou 1. Les résultats obtenus sont: Si l on supprime la restriction qui impose aux 16 variables d être bivalentes INTE 0on obtient la même valeur optimale de la fonction objectif et les même variables non nulles que la résolution précédente. Les valeurs entières dans linvo partie [ Cette particularité s explique par le fait qu une contrainte peut s écrire comme une combinaison linéaire des autres contraintes. Ainsi, même si une contrainte disparaît elle est toujours active par le biais des autres contraintes.

On observe les coefficients de la matrice des contraintes: Analyse paramétrique d’un problème de production On considère un problème de production où l on a trois machines qui peuvent fabriquer des pièces d une certaine épaisseur à une certaine vitesse avec un certain coût. Les trois machines ne peuvent travailler que 35 heures par semaine. Sur une semaine on doit produire au moins m de barres de 0. On voit qu’ils ont aussi la deuxième colonne nulle.

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On peut rentrer X4B dans la base car le coût réduit est nul donc cela ne changera pas la valeur de la fonction objectif. On va constater ce fait en faisant un petit changement dans la fonction objectif: En effet, en lançant ce programme, on voit que X4B prend la place de X5B dans la base et la fonction objectif reste inchangée sauf un petit rajout à cause de la modification de la fonction objectif. Le prix dual de B3 est inférieur à 2 pour une augmentation, donc en augmentant la contrainte de 2 on observe un changement de base.

Pour B4 le prix dual est supérieur à 1 donc il n’y a pas de changement de base. On suppose ensuite que la limitation de la capacité de stockage est de la forme D, où D est un paramètre. On voit qu à partir d une certaine valeur de D icile bénéfice est constant, donc à partir de ce moment on ne peut pas gagner plus en rajoutant de la capacité de stockage.

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Problème de circuit hamiltonien On modélise un problème de trajet minimal en temps. La modélisation est incomplète car elle n impose pas de passer par tous les arrêts avant de revenir au point de départ.

Si à présent on impose à la variable X d être non stable, on résoud alors le problème suivant: Il y a donc un aller-retour infini entre l’arrêt 3 et l’arrêt 6. Si l on rajoute une contrainte, on obtient les résultats suivant: Le car met donc 63 min pour faire la tournée et passer par tous les arrêts. Si on avait voulu écrire toutes les contraintes de non stabilité, il aurait fallu en rajouter.

Compte-rendu de TP : Programmation linéaire. WALLACE Ranveig CATTOËN Céline 4 ème année GMM INSA

Résumé examen janvier 08 Introduction aux problèmes linéaires On nous donne un problème industriel, il faut le modéliser en problème linéaire afin de le résoudre et de trouver. Analyse algébrique Illustration des théorèmes On reprend l exemple des ceintures de cuir, c- à-d maximiser z, avec: Cours 1 Optimisation linéaire L optimisation linéaire est un domaine de la recherche opérationnelle.

Elle consiste à modéliser des problèmes de recherche opérationnelle à l aide d inégalités linéaires. Chapitre 2 Dualité 21 Introduction Avant de donner la definition formelle d un problème dual, nous allons expliquer comment il s explique en terme de problème de production Une entreprise I fabrique n.

Solution de la question 1: Le domaine admissible est représenté en gris sur la Figure 1. La solution optimale correspond au sommet D 9,0. La fonction objective vaut alors La dualité en programmation linéaire Motivation: Chapitre 3 Méthode du simplexe Comme toujours, on suppose que A une matrice de format m n et b R m.

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On notera les colonnes de A par [a 1, a 2, Aussi, on fera l hypothèse que lnieaire rang de la matrice. Fournir un modèle de programmation linéaire équivalent au modèle suivant, où x correspond à la valeur absolue de x.

On pose d abord: Méthode du simplee c. Analyse de sensibilité Interprétation des variables d écart Dans la solution optimale du problème.

Introduction au Compressed sensing. Méthode du simplexe Guillaume Lecué 1 Résumé Dans les deux chapitres qui se suivent, nous présentons deux loneaire d algorithmes pour résoudre des problèmes de programmation. Unité d Enseignement RCP Unité d Enseignement RCP0: Master 1 Maths correction de l examen cc1 d optimisation Exercice 1 Résolution d un. Modèle dual Modèles de recherche opérationnelle RO Programmation linéaire dualité et analyse de sensibilité Variables de décision: Introduction à la programmation linéaire.

Programmation linéaire en nombres entiers J. Introduction et exemples II. Solutions optimales à valeurs entières III. Une unité du produit P 1 laisse. Méthode du Simplexe J.

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Scheid 1 Plan du chapitre 1 Introduction 2 Progression de l algorithme du simplexe phase 2 3 Méthode des dictionnaires 4 Finitude. École Nationale Polytechnique de Constantine Classe préparatoire programmatiin année, Informatique 3 Théorie des graphes et programmation linéaire Dr.

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L3 Informatique Bibliographie V. Exemple de problèmes de transport Example. Licence Informatique Algorithmique Mai Durée 3 heures documents et calculatrices interdits Prenez le temps de faire les calculs au brouillon avant de les lundo sur votre copie d examen. Cours de mathématiques – Alternance Gea Programmation linéaire à plusieurs variables Anne Fredet 2 janvier Définitions Définition.